Sens de variations de la fonction cube - Démonstration

On considère la fonction cube : c'est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^3\).

1. Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels. Montrer que \(f(b)-f(a)=(b-a)(b^2+ab+a^2)\).
2. On souhaite démontrer que la fonction cube est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
    a. Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels tels que \(0\leq a<b\). Justifier que \(b^2+ab+a^2>0\).
    b. En déduire que la fonction cube est strictement croissante sur l'intervalle \([0;+\infty[\).
    c. Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels tels que \(a<b\leq 0\). Justifier que \(b^2+ab+a^2> 0\).​​​​​​
    d. En déduire que la fonction cube est strictement croissante sur l'intervalle \(]-\infty;0]\).
    e. Conclure.
3. Dresser le tableau de variations de la fonction cube.
4. La fonction cube possède t-elle des extremums ?